十二平均律：在乐音发生体整体振动和1/2分段振动的频率之间(即八度之间)，按照一定的数学比值分出的十二个音，叫作十二平均律。十二平均律的最大特点是可以在任何一个音上建立大小调式。

世界上第一位发明十二平均律的人是我国明代律学家朱载堉(1536—1611年)，他在16世纪后半叶(1581年前)提出了十二平均律的精密数据。但使用十二平均律制作乐器，大量创作音乐，并留下卷帙浩繁的辉煌艺术作品则发生在欧洲。法国学者马林·梅森(Marin Mersenne，1588—1648年)在1636年所著的《谐声通论》中提出了十二平均律。德国作曲家巴赫(Johann Sebastian Bach，1685-1750)于1722年发表的《十二平均律曲集》是音乐史上较早使用该律制并影响极其深远的作品。

如何计算得出十二平均律

在人类探索律制的过程中，一直试图寻找一种可以兼顾泛音列与转调的律制。这种律制可以在任意音上做转调，同时还可以与自然泛音列相契合。为了寻找这种律制，人类做了很多尝试，如“三分损益律”“五度相生律”“京房六十律”“纯律”“平均音调律”等。这些律制都是基于泛音列，然后试图寻找“任意转调”的可能。但这些律制都碰到了不同的问题，因而与“任意转调”擦肩而过。

真正解决“任意转调”的律制就是十二平均律。

假设一个发生体整体振动时的频率为400，那么它的1/2分段振动的频率就是200。十二平均律试图在400与200之间寻找出一组音，既满足任意转调，又与泛音列契合。

它的做法是首先设定一个乐音发生体，它的整体振动发出的音是a，频率是400。然后从a开始构筑十二个音：a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l。之后，让这12个音做倍增无限循环排列，如下：

a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l(第一组12个音)、2a、2b、2c、2d、2e、2f、2g、2h、2i、2j、2k、2l(第一组12个音的2倍频率)、4a、4b、4c…4j、4k、4l(第一组12个音的4倍频率)、8a、8b、8c…8j、8k、8l(第一组12个音的8倍频率)…

在十二平均律出现之前的“三分损益律”“五度相生律”“京房六十律”“纯律”等律制都是以泛音列的频率比为出发点制定的律制。无论律学家如何衍生计算，都很难做到任意转调。但十二平均律的制定思路和上述各个律制都不同，它的出发点就是任意转调，在找到可以任意转调的方式之后，再尽量向泛音列的频率比值靠拢。

在对“音色”做阐述时，我们就详细介绍了泛音列。各个泛音的振动频率与基础音频率呈倍数关系。例如，第二分音的频率是基础音频率的2倍;第三分音是基础音频率的3倍;第四分音是基础音频率的4倍……以此类推。假设发生体整体振动时的频率为900，那么它的1/2分段振动的频率就是450，1/3分段振动的频率就是300，1/4分段振动的频率就是225……基础音与第二分音、第三分音、第四分音到第n分音的频率比为1∶2∶3∶4∶5∶6 …(n-1)∶n。

在泛音列比值中，最重要的几个比值就是基础音与第二分音(1∶2)、第二分音与第三分音(2∶3)、第三分音与第四分音(3∶4)、第四分音与第五分音(4∶5)。只要这几个比值在十二平均律中有所体现，我们就可以说十二平均律与泛音列是相契合的。

通过以上对比我们可以看出，泛音列的几个重要比值与十二平均律的契合程度是比较高的。在兼顾任意转调与泛音列方面，十二平均律是各个律制中做得最好的，这为小号等自然泛音乐器与钢琴等十二平均律乐器在乐队中的相互融合提供了良好的平台和基础。因此，十二平均律（见例1-4）是人类创建的各种律制中使用最为广泛的一种。

十二平均律